Нарадзіўся ў мястэчку Вяртсіля Сартавальскага раёну Карэліі (РСФСР) у беларускай сям’і. Неўзабаве сям’я вярнулася ў Беларусь, на сталае жыхарства ў Сьветлагорск Гомельскай вобласьці. Скончыў сярэднюю школу № 5 г. Сьветлагорску, Гомельскі дзяржаўны ўнівэрсытэт і асьпірантуру Інстытуту літаратуры АН Беларусі.
У 1986 г. А. Бяляцкі быў адным са стваральнікаў Таварыства маладых літаратараў «Тутэйшыя», потым — старшынём гэтай арганізацыі. У 1988 г. выступіў адным з заснавальнікаў таварыства «Мартыралёг Беларусі», быў сябрам Арганізацыйнага камітэту Беларускага народнага фронту. У 1990 г. выступіў адным з арганізатараў Беларускай Каталіцкай Грамады.
У 1992–1996 гадах быў дэпутатам Менскага гарадзкога савету.
З 1989 па 1998 гады працаваў дырэктарам Літаратурнага музэю Максіма Багдановіча.
З 1996 году кіруе праваабарончым цэнтрам «Вясна».
У 2007 годзе быў абраны віцэ-прэзыдэнтам Міжнароднай фэдэрацыі правоў чалавека (The International Federation for Human Rights, FIDH), у 2013 годзе пераабраны на трэці тэрмін.
4 жніўня 2011 году Алесь Бяляцкі быў арыштаваны па абвінавачаньні ва ўхіленьні ад выплаты падаткаў (утойваньне прыбыткаў у асабліва буйным памеры, артыкул 243, частка 2 Крымінальнага кодэксу Рэспублікі Беларусь). 24 кастрычніка 2011 году быў асуджаны на 4,5 года ў папраўчай калёніі ўзмоцненага рэжыму з канфіскацыяй маёмасьці за «ўтойваньне прыбыткаў у буйным памеры». Праваабаронца сваёй віны не прызнаў, заявіўшы, што ўсе грошы з рахункаў ішлі на праваабарончую дзейнасьць. Краіны Эўразьвязу, ЗША і міжнародныя праваабарончыя арганізацыі прызналі Бяляцкага палітвязьнем, а прысуд яму — палітычна матываваным.
Бяляцкі быў вызвалены па амністыі 21 чэрвеня 2014 году.
У 2012, а таксама ў 2013 і 2014 гадах Бяляцкі вылучаўся прэтэндэнтам на Нобэлеўскую прэмію міру.